История комплексных чисел и мнимых образов

Нас было много на челне;

Иные парус напрягали,

Другие дружно упирали

В глубь мощны вёслы.

Арион. А.С. Пушкин

Николо Тарталья

первым решил уравнение третьей степени в радикалах. Уравнение имеет три корня, которые могут быть действительными все три или только один. В последнем случае решение допускает два корня с ко-эффициентами +√-1 и -√-1.

Дж. Кардано

выманил решение уравнения третьей степени у Тартальи и поместил его в своей книге «Ars Magna», а мнимые числа он называл «vere sophistica», что примерно означает «заумные». Кардано не считал их истинными числами. Сомнительный поступок Кардано позволил сохранить для науки достижение Тартальи, сам он своё решение публиковать не собирался.

Ж. Дезарг

ввёл несобственную (воображаемую бесконечно удалённую) точку, в которой «пересекаются» параллельные прямые. Такое допущение позволило обобщить частные случаи геометрии и выйти за пределы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия, как позже и аналитическая геометрия, описывают собственное конечное пространство, не доходя в пределе до «бесконечно удалённого». «Воображаемые» элементы мыслятся в бесконечности, а значит за пределами евклидовой геометрии и их введение расширило евклидово пространство до проективного пространства.

Р. Декарт

в своей книге «Рассуждение о методе» приложил алгебраические методы к геометрическим объектам. Введение системы прямолинейных координат означало создание аналитической геометрии, объединяющей геометрические и арифметические величины, которые со времён древнегреческой математики существовали порознь. Отрицательные числа были для него «меньше, чем ничего», а мнимые числа он первым назвал «imaginaire».

Б. Паскаль

сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии: Если шестиугольник вписан в окружность, либо другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

Л. Эйлер,

гений всех времён и народов, в частности, в 1777 г. ввёл знак «i» для обозначения мнимого числа √-1.

Г. Монж

первым написал учебник по начертательной геометрии «Geometrie descriptive, 1847», в основу которой положил метод проекций. Его именем названа теорема, определяющая условия, при которых линии пересечения поверхностей второго порядка распадается. Пересекающиеся поверхности должны быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка ̶ действительной или мнимой. Тогда линия пересечения четвёртого порядка распадётся на две кривые второго порядка: k^4 = k^2 • k^2.

Н.И. Лобачевский

создал первую в мире неевклидову геометрию. В этой геометрии, среди прочих непривычных свойств, можно из некоторой точки плоскости провести две прямые, параллельные данной прямой.

К. Гаус,

признанный король математики, придал комплексным числам сов- ременный вид и ввёл сам термин «комплексное число». Плоскость для изображения комплексных чисел и операций над ними называют плоскостью Гаусса. Гаус тоже работал над неевклидовой геометрией, но не решился об этом говорить.

Ж. Понселе

находясь в русском плену в г. Саратове в 1812 г. написал трактат о проективных свойствах фигур и предлагал его в обмен на освобождение. Предложение было отклонено, а пленных вскоре отпустили. В своём трактате Понселе впервые ввёл в обращение циклические точки. Это две несобственные (воображаемые бесконечно удалённые) мнимые сопряжнные точки, через которые проходят все окружности плоскости.

К. Гудерман,

ученик Гаусса и учитель Вейерштрасса. Его именем названа функция, связывающая тригонометрические и гиперболические функции, без привлечения комплексных чисел, так называемый «гудерманиан». Гудерманиан имеет и геометрическую конструкцию для графического превода углов из одной меры в другую.

Г.К. Штаудт, фон

предложил чисто геометрический способ изображения мнимых сопряжённых точек в виде двух разделяющих друг друга пар действительных точек AB÷CD, расположенных на действительной прямой. Сложное отношение координат точек остаётся неизменным при проекционном преобразовании прямой-носителя. Соответственно этому пара мнимых сопряжённых прямых изображается двумя разделяющими друг друга парами прямых с общей вершиной. Этим геометрия приобрела способ изображения мнимой точки и мнимой прямой и возможность проводить геометрические операции между ними.

Якоб Штейнер

С 1833 г. в Берлинском университете начал свою деятельность Якоб Штейнер. Человек с большой буквы. Его имя несут многие теоремы геометрии и механики. Без университетского образования, но с большой геометрической интуицией, он стоял у истоков проективной геометрии. Штейнер известен также и своим сложным характером и неприятием мнимых образов в геометрии. Феликс Клейн говорил, что ему не хватало умения обращаться с мнимыми величинами. Он никогда не мог с ними смириться и употреблял такие определения как «призрак» или «царство теней». Мнимые величины для него были «иероглифами анализа», которые насильно «выуживаются» из формул анализа. Для Штейнера мнимые величины в геометрии были «привидениями», которые,находясь как бы в высшем мире, обнаруживают себя своими действиями, но о сущности которых мы не можем получить ясного представления. Надо оценить гениальное умение Штейнера так чётко выразить свои отдалённые смутные представления о предмете, который не укладывался у него в сознании. Действительно, он всё понял правильно, мнимые образы не являются фигурами евклидовой геометрии, они принадлежат комплексной геометрии, в которую евклидова геометрия входит как часть. Комплексная геометрия и есть этот как бы «высший мир». Мнимые образы «обнаруживают себя», когда операция рассматривается в комплексной геометрии, например, при подсчёте параметровили, при пересечении фигур. Кривая второго порядка (2) пересекается с прямой линией (1) в двух точках, 2 · 1 = 2. На евклидовой плоскости такое увидишь не всегда, прямая может пройти и мимо кривой. А «выуживание» мнимых величин из формул анализа делается и сегодня, потому что аналитическая геометрия является замкнутой системой, в которой действительные и мнимые величины находятся под одной крышей, в отличие от синтетической геометрии. Вот Штейнер и не мог найти своих «лучших друзей», потому что они лежали совсем в другой геометрии, существующая как другая части комплексного целого или, как он выразился «в высшем мире».

Буквы I и J применяют для обозначения мнимых циклических точек и студенты того времени в шутку вели их от имён двух классиков «Isaac» и «Jakob».

Б. Риман

создал неевклидову геометрию, в которой, в отличие от геометрии Н.И. Лобачевского, вообще нет параллельных прямых.

Феолкс Клейн

Ф.Клейн, классик математики и активный популяризатор. Прилагал усилия к тому, чтобы новейшие математические идеи стали достоянием учителей школ и студенческой молодёжи. Не обошёл он и учения о мнимостях в геометрии (1889). Он, в частности, предложил мнимое родство как преобразование, в котором действительная переменная заменялась на мнимую путём подстановки, например, у → yi. При этом, например, окружность

x^2 + y^2= a^2 преобразуется в гиперболу: x^2 + (i y)^2= a^2, или, в канонической записи x^2 - y^2= a^2.

Ф.М. Суворов

Свою докторскую диссертацию (Казань, 1884) он посвятил кон- струированию конических сечений по точкам и касательным. Он рассмотрел 14 конструкций кривых, в задании которых допускались мнимые точки и мнимые касательные. Вместе с тем он не принял прогрессивной идеи того, что действительная кривая имеет множество мнимых дополнений. Наклон секущей прямой определяет характеристику мнимых дополнений для действительной кривой, с которыми только и может пересекаться данная прямая. Цитата из его работы: «Как ни наглядно представление мнимых точек в теории Максимилиане Мари, но оно страдает тем недостатком, что при различных геометрических операциях необходимо принимать в расчёт характеристику. Так, например, прямая может пересекать только ту воображаемую кривую, точки которой имеют с прямой общую характеристику. Таким образом, каждая кривая, соответствующая определённой характеристике, представляется расположенной как бы в отдельной плоскости; число таких плоскостей будет бесконечно велико, но все эти плоскости совпадают в реальных точках и сливаются в одну плоскость внутри реальной кривой. Такое построение, подобное Римановой плоскости, вряд ли может принести особенную пользу.» Предложенный подход был поставлен под сомнение уважаемым профессором Суворовым. Да, на то время он так видел картину мнимого в геометрии и считал её практически нерациональной. Но нами принят именно этот непризнанный им путь и на этом пути нами решены определённые позиционные и метрические задачи и доказан ряд геометрических теорем.

П.А. Флоренский

В 1922 г. П.А. Флоренский издал книгу «Мнимости в геометрии», во введении к которой он отметил, что числовая плоскость Гаусса существует сама по себе, а мнимости в геометрии - сами по себе, и с ними обстоит неблагополучно. Он довольно живо представлял себе кривую линию и допускал, что она может уходить вглубь плоскости и становиться мнимой и может вновь появляться на поверхности подобно реке. Флоренский различал девять видов мнимых точек, которые подразделял на шесть родов. Как служитель культа, он пытался через мнимости дать толкование семи кругам ада из «Божественной комедии» Данте. Этот эксперимент стоил Флоренскому, образованному и талантливому человеку, ссылки на Соловки.

Г. Минковский

разработал геометрическую четырёхмерную теорию относительности, названную псевдоевклидовым пространством Минковского. Мнимые образы евклидовой геометрии являются действительными фигурами псевдоевклидовой геометрии.

1. Seite ↑ 2. Seite ↑ 3. Seite ↑ 4. Seite ↑