ТРИ КРУГА

Окружность - граница круга. Круг - это окружность вместе с её внутрен-ней областью. Кружало - старинное название циркуля. Кругом иногда нестрого называют окружность. В геометрии существует много задач, в условия которых входят три окружности. К примеру, луночки Гиппократа, задача Аполлония и многие другие.

Задача Аполлония —

задача на построение окружности, касающейся трех данных окруж-ностей. Решается методом инверсий. Окружность, являющаяся решением, называется окружностью Аполлония. Три данные окружности допускают восемь различных решений – восемь окруж-ностей Аполлония. Столь серъёзная когда-то задача, называемой иногда проблемой Аполлония, о которой написаны тома книг, с появлением компьютерной графики САD превратилась в рутинное построение окружности по трём касательным. Надо только ещё указать каким должно быть касание с конкретной окружностью – внешним или внутренним.

Гиппократовы луночки —

серповидные фигуры, указанные Гиппо-кратом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность сос- тоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть можно построить равновеликие им прямоугольники. Гипп- ократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного успеха не добился. На рисунке сумма площадей луночек равна площади прямоугольного треугольника.

1. Определить вид фигуры

Среди геометрических головоломок выделяется одна, требующая гибкости мышления и развитого пространственного воображения. Условие простое:

«Даны два вида некоторой фигуры. Построить третий вид или аксонометрию фигуры.»

Над этой, на первый взгляд безобидной задачкой, я сам ломал голову, предлагал её друзьям, геометрам, конструкторам и студентам. После нескольких безуспешных попыток они сдавались и просили показать решение. Решение не моё, а неизвестного автора задачи. Решение, бесспорно, красивое. Когда его видишь, то кажется, что и проблемы-то никакой и не было, настолько оно очевидное. Решение можно увидеть на этой странице в подвале, рис.1.

2. Определить вид фигуры

Когда за решение взялся Андрей Фёдоров (Астана), то он выбрал ориги- нальный и успешный путь. Он собрал искомую фигуру из отсеков цилиндра. Отсеки он высекал из цилиндра двумя плоскостями, наклонёнными к оси под углом 45°, плоскости пересекались на оси. Четвертинки складывались и давали на плоскость проекций окруж-ность. Немного смущало ребро, появляющееся вдоль стыка, но оно проецировалось на контур элемента. Фигура в целом удовлетворяла данным проекциям. Для тех, кто тоже нашёл решение или не нашёл его, можно посмотреть рис.2 в подвале данной страницы.

3. Определить вид фигуры

Фёдоровская сборка сдвинула решение задачи с мёртвой точки и дала пищу для размышлений. Толчком к изменению сборки послужило ребро по стыку двух отсеков, хотя оно на проекциях и сливалось с контуром элемента и не противоречило условию. Это навело на мысль перейти от цилиндрических отсеков к конусам.

У созданной из конусов сборки два выступающих конуса могут быть и коническими воронками. На условии задачи это не отразится. Желающие могут увидеть сборку из конусов на рис.3 в подвале этой страницы. На рис.3.1 два конуса на основании большого конуса заменены двумя коническими воронками - виды фигуры слева и справа дают те же предписанные три окружности, п.1, и задача поучает четвёртое решение. Ещё два решения дают сборки для случаев 1 и 2 в задаче «Определить вид поверхностей». Случай 2 (даны три поверхности – две плоскости α и β и параболоид Ψ) и случай 1 (даны две поверхности – горизонтальный цилиндр и параболоид Ψ), см. «Подвал», рис.7.

Определить вид поверхностей

Даны две проекции фигуры, получающейся в результате пересечения по- верхностей тел вращения и плоскостей. При этом в пересечении могут участвовать несколько поверхностей, а именно:

1. исходных поверхностей две,

2. исходных поверхностей три,

3. исходных поверхностей четыре,

4. исходных поверхностей пять.

Для каждого из случаев 1, 2, 3 и 4 указать оси пересекающихся поверхностей и построить профильную проекцию очер-ков пересекающихся поверхностей.

Пример одного из решений. Даны три поверхности – две плоскости α и β и параболоид Ψ с основанием на окружности с.

Две фронтально проеци-рующие плоскости α и β пересекают параболоид Ψ по эллипсам, которые проецируются на плос-кость π1 в окружности a и b, а на плоскость про-екций π3 в окружность а. Здесь же видна и пара-бола как очерк параболоида.

Другие решения по данному условию задачи приведены в подвале данной страницы: для случая 4 – рис. 4, для случая 3 – рис. 5, для случая 2 – рис. 6 и для случая 1 – рис. 7.

Построить ГМТ

Даны две точки М и N. Точка N есть центр пучка прямых, точка М – действительная точка пересечения изотропных прямых. Изотропные прямые обладают тем свойством, что между собой пересекаются под прямым углом, а к секущей прямой направлены своей биссектрисой МС нормально. На каждой прямой пучка (N) изотропные прямые высекают две мнимые точки А и В и одну действительную точку С. ГМТ этих трёх точек есть три окружности. Решение см. на рис. 8 в подвале этой страницы.

Построить окружность

Даны окружность (IJ) и внутренняя точка Р. Построить окружность, проходящую через точку Р с диаметром на хорде, параллельной диаметру IJ, фиг. а.

Окружности эллиптического пучка, как и окружности гипербо-лического пучка, плотно заполняют плоскость. Если на плоскости задать произвольную точку Р, то известными построениями опреде-ляется окружность пучка, проходящая через точку Р. Но есть ещё и псевдоэллиптический пучок, окружности которого плотно заполняют только часть плоскости внутри эллипса с осями IJ и IJ∙√2, где I и J – базисные точки пучка. Поставленная задача предполагает построение окружности такого пучка по одной её точке и базисным точкам I,J.

Задача имеет два решения, вместе с исходной окружностью их получается три. Задача имеет точное графическое решение, приведённое в книге «Комплексная геометрия», с.67. Здесь я хочу сказать похвальное слово «способу кривой ошибок», который мало известен и с помощью которого мы достигнем приближённого решения поставленной задачи.

Через центр окружности (IJ) перпендикулярно диаметру проводят прямую u, фиг.b. На u выбирают ряд точек как центры окружностей, проходящих через точку Р. Окружности образуют эллиптический пучок (вводный текст к "Физический эксперимент"). Концы диаметров окруж-ностей, параллельных IJ (точки кривой ошибок), лежат на гиперболе с осью РQ. Точка Q симметрична Р относительно u. Гипербола (РQ) пересекает окружность (IJ) в точках R1 и R2. Хорда R1-R1 есть диаметр первой искомой окружности, хорда R2-R2 – диаметр второй. Окружности (R1-R1) и (R2-R2) принадлежат псевдоэллиптическому пучку с базисными узловыми точками I и J. Окружности пучка мнимые и проходят через точки I и J своими гиперболическими ветвями, а построенные окружности (красный цвет) – это их носители.

Подвал

По двум данным видам построить третий вид

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис.3.1

Рис. 4 Случай 4. Пять поверхностей: три вертикальных цилиндра с через окружности a, b и с и две плоскости α и β.

Рис. 5. Случай 3. Четыре поверхности: два вертикальных цилиндра с через окружности a и b, вертикальный цилиндр с основанием на окружности с и две плоскости α и β.