Немного о себе 

Родился в, тогда ещё, а теперь уже, российском Крыму, школу закончил в Северном Казахстане, институт - в Западно-Сибирском Омске, аспирантуру - в Москве, МАИ, при кафедре прикладной геометрии. Степень «кандидат технических наук» защитил со счётом 16:0, что было довольно редким случаем. Как и вообще редким случаем были остепенён-ные преподаватели  кафедр начертательной геометрии и графики. Работал доцентом в Омске, Целинограде, Касселе (Германия). В Германии выяснилось, что на Западе нет этого звания-ожидания «кандидат», а есть сразу доктор наук. Когда в конце прошлого века я переехал на Запад, то моего «кандидата» признали за доктора Dr.-Ing.

Мне повезло немного поработать в Кассельском университете, вначале на часах, потом в штате. Моими предметами были конструктивная (она же начертательная) геометрия, основы конструирования и компьютерная графика с уклоном на металлоконструкции. Мой немецкий был ужасным, мне было просто жаль моих студентов. Но молодежь народ великодушный и мне простилось.

Мои увлечения – люблю изобразительное искусство - живопись,  фотографию, графику. Пытался даже резать линогравюры. Нравилась 16-ая полоса Литературной Газеты с культурным юмором. По мере сил и разумения занимался фотографией. Был счастлив, когда приобрёл зеркальную камеру ТТЛ. Но когда понял, что кадр настраивается не за счёт выдержки, а за счёт диафрагмы, то был очень разочарован в этой хвалёной и дорогой технике – вся художественность кадра достигается глубиной резкости, которая устанавливается именно диафрагмой объектива, а этого я, как фотохудожник, был лишён.

После окончания института мне предложили остаться на кафедре «Начертательная геометрия и черчение» ассистентом на 104 р. Согласился. На кафедре прошёл крещение – сотрудники предложили мне решить простую задачку: Из точка А направить луч так, чтобы после отражения в плоскости Σ он попал в данную точку В. Сама «начерталка» была мне ещё нова и непривычна, но на следующий день я принёс решение на кафедру. Ну, принёс и принёс. А потом я узнал, что эту задачу на кафедре вообще никто не знал как решать, включая заведующего. Когда я стал читать книги по геометрии, учебник по НГ Четверухина, учебник Вольберга, "Наглядную геометрию" Гильберта и Кон-Фоссена и др., то понял, что здание геометрии гораздо больше, чем можно себе представить, что в геометрии есть много диковинного, как, к примеру, родство, гармоничность, конгруэнции, инволюции, ряды, пучки и особенно эти мнимые образы (даже не фигуры), которые невозможно показать и о которых авторы говорили скупо и вскользь. Сплошная интрига. Если, например, нормально было известно, что эллипс имеет два фокуса, то вдруг выяснилось, что он имеет ещё два мнимых фокуса. Так, между прочим. Но показать их нельзя! – у геометрии для этого нет нужных точек?! Информация о мнимом накапливалась по крупицам. Оказалось, что есть даже целый мнимый эллипс без единой действительной точки, который также нельзя показать и который также имеет четыре фокуса, из которых два действительных. Тогда я сделал доклад на конференции. На листе кальки (полупрозрачная бумага) с одной стороны нанёс окружность и прямую, проходящую мимо окружности, а на второй «мнимой» стороне напросвет повторил прямую, а вместо окружности нанёс равнобочную гиперболу, которая пересекала прямую. Если смотреть со стороны окружности, то на просвет видно, как она будто бы «пересекает» прямую в «мнимых точках». Курьёз. Но с тех пор мнимое в геометрии стала моей ТЕМОЙ и моим грузом. Начался длительный этап научной работы – сбор материала.

Комплексная геометрия 

На этом сайте я намерен представить область геометрии, на которой сходятся две составляющие комплексной геометрии, именно, евклидова и псевдоевклидова геометрии. Содержание этой области – мнимые геометрические фигуры. К теме мнимых фигур в геометрии мной написано много статей, депонированы работы, под грифом "Начала комплексной геометрии", изданы две "бумажные" и две электронные книги. Эти четыре книги, в порядке популяризации темы мнимого в геометрии, я бесплатно предоставляю как электронный ресурс всем желающим.

Когда в начале 60-х я начал знакомиться с темой мнимого в геометрии, то феномен мнимого был окутан густой аурой таинственности и фобии. Люди со званиями избегали связывать свои имена с этой темой – как бы чего не вышло! Это было что-то тёмное и несло опасность подписать что-нибудь неправильное и навредить своему имени. В 1991 г. я делал заявку на докторскую диссертацию в КИСИ у профессора В.Е. Михайленко по теме мнимого в геометрии. Тогда докторский совет был в Киеве, а Михайленко был его председателем. Не признал! Как не уговаривали его профессора и доценты кафедры и его знаменитая Анпилогова, что эта тема – обогащение геометрии, сфера новых приложений, возможность новых теорий и пр., и пр. Нет!

Со временем, хочется верить, что благодаря и моим усилиям, к теме мнимого в геометрии наши геометры-прикладники попривыкли. Намечается даже направление «имаженистов» в геометрии, от слова "imaginaire" – с фр. мнимый, недействительный, нереальный, слово восходит к Декарту. «Имаженист» слово красивое, годится не только для литературы, но и для геометрии. К этой когорте я бы отнёс в первую голову проф. Иванова Генн. Серг., наверное, Графского О.А., защитившего докторскую по теме, отношу себя, вашего покорного слугу, доц. Короткого В.А., активно работающего в области проективной геометрии, и коллег, терпимо относящихся к теме, как Сальков Н.А., печатающий имаженистов в своём журнале «Геометрия и графика», которых слово "мнимый" не отпугивает, которые даже берут его на язык на пробу. Конечно, с феноменом мнимого в геометрии предстоит ещё много работы, многое предстоит прояснить, но, как мне кажется, лёд тронулся, господа, процесс пошёл!

 Мои труды по комплексной геометрии 

Download

Книга содержит основы евклидовой и псевдоевклидовой геометрий, которые имеют глубокую взаимосвязь. Даны основные определения, теоремы, правила построения базовых фигур и практически необходимые конструкции. Книга адресована всем тем, кому быстро нужны конкретные знания по построениям геометрических конструкций. 

Основы геометрии – евклидовой и псевдоевклидовой. Учебное пособие, М.: Маска, 2013 - 216 с. более 300 рис. ISBN 978-5-91146-934-4

Доступ: https://cloud.mail.ru/public/BPm2/dCLB8B9id

Download

В геометрии объекты пространства наглядно представлены фигурами и геометрия известна как самая наглядная из наук. Меньше всего было ожидать, что именно в геометрии содержатся образы, которые не имеют изображений, они не могут быть показаны и, соответственно, не могут быть увидены. Это так называемые мнимые образы. Настоящая книга даёт объяснение феномена мнимых образов в евклидовой геометрии, нагляд-но представляет их геометрическими фигурами и даёт правила, как обходиться  с ними в геометрических построениях. Книга адресована всем, чья деятельность и интересы связаны с геометрией и математикой.

Наглядная мнимая  геометрия. Монография, М.: Маска, 2008 - 216с. ISBN 978-5-91146-179-9

Доступ: https://cloud.mail.ru/public/9VTm/bSMFCFMEE

Download

Сборник задач служит практическим введением в комплексную геометрию как расширения евклидовой геометрии плоскости. Теоретическое введение позволяет на геометрической основе решать задачи из различных областей инженерных знаний – геометрии, фи- зики, механики, дифференциального исчисления и др. Сопутствующие рисунки имеют цветовое решение. Составные части задачи: условие, решение, расширение решения, указания – увязаны ссылками. 

Сборник задач по комплексной геометрии с решениями.

Часть I - 2D. Учебное пособие, 2012 - 190 c.  Электронный ресурс.                                     

Доступ: https://cloud.mail.ru/public/5Pva/N5oeA8z5k  

Download

Геометрия кривых линий и поверх-ностей как реальных фигур, так и мнимых образов комплексной геометрии, рассмотрены на конкрет-ных задачах. В книге даны способы задания фигур, проецирование не только реальных фигур, но и их мнимых расширений, проведены операции взаимного пересечения поверхностей и в тех случаях, когда фигура пересечения становится мнимой. Комплексная геометрия предоставляет удобный и практически доступный способ знакомства  с  образами  неевклидовой геометрии. 

Избранные задачи по конструктивной геометрии с реше-ниями. Часть II - 3D. Учебное пособие, 2014 - 112 с.  Электронный ресурс.

Доступ: https://cloud.mail.ru/public/DH4p/RrfLRgPBu

 Физический эксперимент

Евклидова геометрия – это геометрия окружности. Псевдоевклидова геометрия – геометрия равнобочной гиперболы. Отсюда интерес поближе познакомиться со свойствами гиперболы.

1. Внутренние хорды, параллельные оси АВ гиперболы, есть диаметры окружностей, которые проходят через вершины А и В гиперболы. Совокупность окружностей образует эллиптический пучок. АВ есть радикальная ось v, u – линия центров.

2. Внешние хорды, перпендикулярные оси АВ гиперболы, есть диаметры окружностей, которые мысленно (мнимо) проходят через мнимые вершины гиперболы. Совокупность окружностей образует гиперболический пучок. АВ есть линия центров v, u – радикальная ось пучка.  

Окружности этих двух пучков пересекаются под прямым углом в точках гиперболы (АВ). Многие конструкции псевдоевклидовой геометрии опираются на названные свойства гиперболы. Оба пучка окружностей с общими базисными точками А и В создают красивый муар ортогональной сети.

Однажды, будучи ещё молодым ассистентом кафедры начертательной геометрии, попробовал получить эти окружности на негеометрическом пути. Я провёл физический эксперимент. На электропроводной бумаге закрепил два контакта (диполь) и подвёл к ним постоянный ток от аккумулятора. Вольтметром можно было определить напряжение в любой точке листа. Задаваясь определённым потенциалом, с помощью щупов определял несколько точек эквипотенциальной линии на листе и помечал их. Эти точки ложились на окружность гиперболического пучка. Точки с определённым значением тока образовывали силовые линии и хорошо ложились на окружности эллиптического пучка. В этом эксперименте не было ничего нового, но было приятно увидеть эти окружности самому и прочувствовать связь наук – физики и геометрии. Провода, отходящие от контактов, я скрутил в спиральки, и получилась красивая абстрактная картинка. Она висела над моим рабочим столом под названием «Гипнотизёр».

Моё построение комплексной геометрии 

Идеи, предложения, определения и конструкции, потре-бовавшиеся для новой темы «Комплексная геометрия»

Конструктивные идеи:

1. Принята модель комплексной плоскости и комплексного прост-ранства. Евклида геометрия есть незамкнутая система. Но вместе с псевдоевклидовой геометрией они образуют замкнутую систему - комплексную геометрию.

2. Принято совмещённое изображение сопряжённых – действительных и мнимых, прямых и коник.

3. Объяснено несоизмеримо большое количество мнимых элементов по сравнению с соответствующим числом действительных элементов.

4. Принято неочевидное толкование, что действительная прямая совпадает со своим мнимым дополнением.

Новые определения:

1.  Мнимое направление i.

2. Точка Лагерра L для построения точек эллиптической инволюции в ряду.

3. Носители: носитель мнимых точек, носитель мнимых прямых, носитель мнимой окружности.

4.  Три вида мнимых прямых h, s и t относительно направления i.

5. Ортогональность действительной и мнимой окружностей обеспе- чивается положением, при котором действительная окружность диаме-трально пересекает носитель мнимой окружности.

6.  Псевдоэллиптический (мнимый) пучок окружностей.

7.  Задание мнимой точки маркером -  прямой-носителем и нормалью из точки Лагерра к носителю.

8.  Задание мнимой прямой маркой - прямоугольником с диагона-лями и главными осями.

Теоремы комплексной геометрии:

1. Теоремы, сформулированные в евклидовой геометрии, справед- ливы и в псевдоевклидовой геометрии и наоборот, потому что они являются двумя составными частями комплексной геометрии.

2. Кардинальное правило: Две линии пересекаются, если они расположены на общем носителе; действительные линии пересе-каются в действительных точках или не пересекаются, мнимые линии пересекаются в мнимых точках или не пересекаются. Смешанного пересечения нет.
3. Изотропные касательные к конике пересекаются в её фокусах. Сопряжённые касательные пересекаются в двух действительных фокусах, несопряжённые – в двух мнимых фокусах.

Некоторые из разработанных конструкций:

1. Деление отрезка в данном действительном и мнимом отношении.

2. Построение прямой, соединяющей две мнимые точки.

3. Построение точки пересечения двух мнимых прямых.   

4. Построение истинной длины d отрезка AB мнимой прямой.

5. Построение мнимого прямого угла.

Угол <Oth - мнимый прямой. t и h - мнимые прямые, s - изотропа. 

6. Построение перпендикуляра к данной мнимой прямой, см. п.5.  

7. Построение поляры p данной точки P относительно мнимой окружности или  мнимой коники. Построение полюса P данной прямой p относительно мнимой окружности или мнимой коники.

8. Построение радикальной оси p.o. двух однородных и двух разнородных окруж-ностей а) способом сечения прямой, параллельной линии центров, б) спосо-  бом межцентровой окружности.

9. Построение центров подобия Р1 и Р2 двух разнородных окружностей.

10. Построение мнимых точек M1, M2 пересечения секущей прямой с коникой (случай, когда линии не имеют действи-тельного пересечения).  

11. Построение окружности по данному центру С и мнимым касательным прямым m1 и m2.

12. Построение окружности (С), ортого-нальной данной мнимой окружности (М).

13. Построение хордальных прямых двух коник (аналог радикальной оси двух окружностей) способом дилатации – центрального увеличения данных коник. Удобен при работе в машинной графике. 

14. Нахождение на конусе наперёд заданной коники.

15. Написание уравнения проекции квадрики на данную плоскость.

16. Построение проекций действительных и мнимых фокусов квад- рики по теореме «Фокусы, расположенные на оси вращения квадрики, проецируются в фокусы очерка проекции квадрики».

17. Построение проекции вершины мнимого конуса на плоскость сечения по теореме «Вершина прямого кругового конуса ортого- нально проецируется в фокус проекции его плоского сечения».

18.  Переопределение одной или обеих пересекающиеся квадрик с сохранением линии их пересечения.

19. Построение линии пересечения а) мнимых, б) вырожденных по- верхностей.

20. Построение огибающей линии семейства коник. Случай, когда огибающая становится мнимой кривой.

21. Построение параболы по двум вписанным окружностям, где окружности могут быть действительными, мнимыми или разнород- ными.

22. Построение сферы по четырём точкам, из которых одна или обе пары могут быть комплексно сопряжёнными.

23. И мн. др.

Пример из дифференциальной геометрии. Если гиперболу вращать вокруг центра, то она заметёт пучок  гипербол - семейство. Каждое семейство кривых имеет огибающую кривую. Огибающая семейства гипербол есть кривая 4-го порядка, состоящая из двух концентрических окружностей  - действительной и мнимой.  

1. Seite↑        2. Seite↑        3. Seite ↑       4. Seite ↑